本文讨论了格中基子集、依次最短无关组及Minkowski约化基之间的向量长度关系, 利用无关组与基之间的一些制约性质, 给出了Minkowski约化基达到依次最短长度, 以及依次最短无关组成为Minkowski约化基的一些充分条件.

通过计算合成, 我们证明了Yamane 给出的关系是 ${\mathbb{Z}}/3{\mathbb{Z}}$-量子群的一个Gr\"{o}bner-Shirshov 基.

对一般线性Lie超代数的Verma模及向量相干态 (vector-coherent-states)表示给出了以向量为系数的微分算子实现. 对一般线性Lie超代数的单一非典型(singly atypical) Kac模, 我们具体写出了本原权向量,并对这种情形确切写出了用以刻画向量相干态表示的单子表示的微分方程.

设$G$为有限群, $N$是$G$的正规子群. 记$J=J(F[N])$为$F[N]$的Jacobson根, $I={\rm Ann}(J)=\{\alpha \in F[G]|J\alpha =0\}$为$J$在$F[G]$中的零化子. 本文主要研究了, 根据 $F[G/N]$ 和 $F[G]/I$ 的Cartan矩阵, 分解 $F[G]$ 的Cartan矩阵. 这种分解在Cartan不变量和$G$的合成因子之间建立了一些联系. 本文指出$N$中$p$-亏零块的存在性依赖于Cartan不变量或者$I$在$F[G]$中的性质, 证明了Cartan矩阵的分解部分地依赖于$B$所覆盖的$N$中的块的性质. 本文研究了$b$为$N$上的块且$l(b)=1$时, 覆盖$b$的$G$中的块$B$的性质. 在两类情形下, 本文证明了块代数上关于Brauer特征标次数的猜想成立, 涵盖了Holm和Willems研究的某些情形. 进而对Holm和Willems提出的问题给出了肯定的回答. 另外, 本文还给出了Cartan不变量的一些其它结果.

本文利用群的根性的性质, 解决了Szasz在环的根性理论中提出的公开问题在群论中的对应问题. 同时我们研究了群的遗传根性和强半单根性的一些性质, 并介绍了群的根类的交运算和并运算, 由此得到了一些很好的结果.

本文利用第一类和第二类完全椭圆积分的分析性质建立了Hersch-Pfluger偏差函数$\varphi_K$ 的H\"older平均不等式, 推广了Anderson、Vamanamurthy和Vuorinen~关于Hersch-Pfluger偏差函数$\varphi_K$的几何平均不等式.

本文刻画了修改的Poisson积分和的Green位势在上半空间中的例外集. 所得结论推广了关于解析函数、调和函数和超调和函数增长性质的已有结果.

本文在处理$L^1$-收敛性问题中给出了一个确切的条件和一种更直接的方式.

本文利用奇点理论研究了$n$维Anti-de Sitter空间中的类空超曲面, 介绍了类空超曲面的局部微分几何, 定义了类时Anti-de Sitter Gauss像及Anti-de Sitter高度函数, 并进一步的利用Anti-de Sitter高度函数族和流形间的切触理论研究了类时Anti-de Sitter Gauss像的几何意义及类空超曲面的通有性. 最后研究了类空超曲面的AdS-Monge型.